주사위 합의 확률, 표로 읽기

주사위 두 개를 더하면 가운데가 두꺼워져요

보드게임 설명서에 '주사위 두 개를 굴려 나온 합만큼 움직인다'는 규칙이 있으면, 칸마다 밟을 가능성이 서로 달라져요. 주사위 하나는 1부터 6까지 모든 눈이 똑같이 나오지만, 둘을 더하면 합을 만드는 방법의 가짓수가 합마다 다르기 때문이에요. 합 2는 (1, 1) 한 가지로만 만들 수 있고, 합 7은 (1, 6)부터 (6, 1)까지 여섯 가지로 만들 수 있어요.

이 글의 확률표는 모든 경우를 코드로 하나하나 세어서 만든 정확한 값이에요. 두 개는 6 × 6 = 36가지, 세 개는 6 × 6 × 6 = 216가지를 빠짐없이 나열하고 합마다 몇 번 나오는지 셌어요. 시뮬레이션으로 얻은 숫자는 표 제목에 따로 밝혀 두었어요.

표를 보면 분포가 7을 꼭대기로 좌우 대칭인 삼각형이에요. 합 6과 8을 함께 노리면 36가지 중 10가지라 27.78%이고, 6·7·8 세 값을 모두 묶으면 16가지로 44.44%가 돼요. 반대로 양 끝의 2와 12는 합쳐도 5.56%뿐이라, 이런 칸에 중요한 보상을 두는 게임은 일부러 드문 사건을 만들어 둔 셈이에요. 게임판을 만들 때 자원이 나오는 칸이나 함정 칸의 번호를 정할 때 이 표를 옆에 두면 칸 사이의 무게를 맞추기 쉬워요.

세 개를 더하면 종 모양에 가까워져요

주사위를 셋으로 늘리면 삼각형의 꼭짓점이 둥글어져요. 가장 흔한 합은 10과 11로, 각각 216가지 중 27가지(12.50%)예요. 끝값인 3과 18은 각각 한 가지뿐이라 0.46%, 대략 216번에 한 번이에요. 왼쪽 절반만 적고 오른쪽은 대칭인 값을 함께 적었어요.

이 사이트의 주사위 굴리기 함수로 세 개를 21만 6천 번 굴려 본 시뮬레이션에서는 합 3이 1,009번, 18이 1,028번, 10이 26,871번, 11이 26,741번 나왔어요. 정확한 기대 횟수인 1,000번과 27,000번 근처에 모였고, 실행할 때마다 조금씩 달라지는 값이에요. 같은 함수로 두 개를 60만 번 굴렸을 때 합 7은 100,242번으로 기대값 100,000번에 가까웠어요.

탁상 역할 게임에서 능력치를 정할 때 쓰는 '네 개를 굴려 가장 낮은 눈 하나를 빼고 더하기' 방식도 같은 방법으로 셀 수 있어요. 1,296가지를 모두 세면 평균이 약 12.24로, 세 개를 그냥 더할 때의 10.5보다 높아요. 합이 15 이상일 확률은 23.15%로 세 개 그대로일 때의 9.26%보다 두 배 넘게 커지고, 18은 1.62%로 세 배 넘게 늘어요. 규칙 한 줄이 분포 전체를 위로 밀어 올리는 거예요.

NdM 표기로 기대값과 퍼짐 계산하기

'3D8'처럼 적는 표기는 앞의 N이 주사위 개수, 뒤의 M이 면 수예요. 이 표기만 있으면 결과의 중심과 퍼짐을 공식 두 개로 구할 수 있어요. 면이 M개인 주사위 하나의 평균은 (M + 1) ÷ 2, 분산은 (M² − 1) ÷ 12예요. 주사위끼리는 서로 영향을 주지 않으니 N개를 더하면 평균과 분산이 모두 N배가 돼요. 표준편차는 분산의 제곱근이고, 결과가 평균에서 대략 얼마나 벗어나는지를 보여 줘요.

3D6과 1D20은 평균이 10.5로 똑같지만 표준편차는 2.958과 5.766으로 두 배 가까이 차이 나요. 1D20은 극단적인 값이 자주 나오는 '모 아니면 도' 주사위이고, 3D6은 대체로 평범한 값에 머무르는 주사위라는 뜻이에요. 공격 피해량이나 이동 거리를 정할 때 결과를 예측 가능하게 만들고 싶다면 면이 작은 주사위 여러 개, 반전을 자주 일으키고 싶다면 면이 큰 주사위 하나가 어울려요. 10D6은 범위가 10~60으로 넓어 보여도 표준편차가 5.4라서 열 번 중 일곱 번 가까이(68.70%)는 합이 30과 40 사이에 들어와요.

'둘 굴려 높은 쪽 쓰기'처럼 개수 대신 고르는 방식을 바꾸는 규칙도 있어요. 20면 두 개 중 높은 값을 쓰면 평균이 13.825로 오르고, 20이 나올 확률이 9.75%로 하나만 굴릴 때의 5%의 거의 두 배가 돼요. 낮은 값을 쓰면 평균이 7.175로 떨어지고요. 400가지를 모두 세어 얻은 값이에요.

'이번엔 나올 차례'라는 착각

6이 다섯 번 연속으로 안 나오면 다음에는 꼭 나올 것 같은 기분이 들어요. 하지만 주사위에는 기억이 없어요. 앞에서 무엇이 나왔든 다음 한 번에 6이 나올 확률은 그대로 6분의 1이에요. 이 사이트의 주사위 함수로 한 개를 300만 번 굴리고, 6 없이 다섯 번 이상 이어진 직후만 골라 보았어요(시뮬레이션). 그런 순간이 1,207,362번 있었고 바로 다음에 6이 나온 것은 201,109번, 16.66%였어요. 기다린 만큼 확률이 올라가지 않는다는 걸 숫자가 그대로 보여 줘요.

반대 방향의 착각도 있어요. 같은 눈이 세 번 연달아 나오면 주사위가 고장 났다고 의심하게 되는데, 굴리는 횟수가 늘면 이런 연속은 오히려 흔해져요. 6면 주사위 하나를 여러 번 굴릴 때 어딘가에서 같은 눈이 연달아 나올 확률을 상태 전이 방식으로 정확히 계산했어요.

한 판에 서른 번쯤 굴리는 게임이라면 같은 눈 세 번 연속을 볼 확률이 거의 절반이에요. 백 번이면 네 번 연속도 세 판 중 한 판꼴로 나와요. 연속이 보인다고 주사위를 의심하기보다, 그 정도 연속은 원래 섞여 있다고 받아들이는 편이 맞아요.

'기다리면 언젠가 나온다'는 말 자체는 맞지만 생각보다 오래 걸릴 수 있어요. 6이 한 번이라도 나올 확률은 세 번 굴려 42.13%, 네 번에 51.77%, 여섯 번에 66.51%, 열 번에 83.85%, 스무 번에 97.39%예요. 여섯 번을 굴려도 세 번 중 한 번은 6을 못 보는 셈이에요. 여섯 번 굴려서 1부터 6까지가 하나씩 다 나올 확률은 1.54%에 그쳐요.

주사위 굴리기 도구가 실제로 하는 일

도구 코드를 읽고 확인한 동작이에요. 입력은 '주사위 개수'와 '면 수' 두 칸으로 나뉘어 있고, 개수는 1~10, 면 수는 2~1,000 사이 정수만 받아요. '2d6' 같은 글자를 한 칸에 적는 방식은 받지 않아서, 개수 칸에 2d6을 넣으면 숫자로 입력하라는 안내가 나와요. 한 번에 굴리는 주사위는 모두 같은 면 수라서 6면과 8면을 섞는 규칙은 두 번 나누어 굴려야 하고, '+3' 같은 보정값도 결과에 직접 더해야 해요.

눈을 정하는 부분은 짧아요. 주사위 하나마다 사이트 공통 코드의 정수 뽑기 함수를 한 번 불러 0부터 '면 수 − 1' 사이 정수를 받고, 1을 더해 눈으로 써요. 결과는 애니메이션이 시작되기 전에 이미 정해지고, 굴러가는 장면은 그 눈이 위로 오도록 맞춰 그려요. 그래서 '건너뛰기'를 눌러도 결과는 바뀌지 않아요. 결과 기록은 '2D6: 3, 5 (합 8)'처럼 개수·면 수·각 눈·합을 한 줄로 남기고, 두 개 이상이 모두 같은 눈이면 따로 알려 줘요. 개수별로 그 알림이 뜰 확률은 두 개 16.67%, 세 개 2.78%, 네 개 0.46%이고, 다섯 개부터는 0.1%도 안 돼요.

게임 규칙을 정하기 전에 해 볼 계산

직접 만든 보드게임이나 역할 게임 규칙에 주사위를 넣을 때는 아래 순서로 확인해 보세요. 종이와 위의 공식만 있어도 충분해요.

1. 성공 기준을 숫자로 적기. '합 9 이상이면 성공'처럼 조건을 먼저 정해요. 기준이 애매하면 확률도 계산할 수 없어요.
2. 확률표에서 그 칸 찾기. 2D6이면 9 이상은 27.78%, 3D6이면 12 이상은 37.50%처럼 표에서 바로 읽어요. 원하는 난이도와 맞지 않으면 기준을 한 칸씩 옮겨 봐요.
3. 평균과 표준편차 비교하기. 같은 평균을 내는 다른 표기가 있는지 보고, 결과를 고르게 할지 들쭉날쭉하게 할지 정해요.
4. 한 판에 몇 번 굴리는지 세기. 굴리는 횟수가 많으면 드문 사건도 한 번쯤은 일어나요. 5% 사건도 스무 번 굴리면 한 번 이상 나올 확률이 64% 정도예요.
5. 도구로 시험 삼아 굴려 보기. 같은 조건으로 서른 번쯤 굴려 기록을 보고, 실제 판에서 느껴지는 속도와 긴장감이 괜찮은지 확인해요.

팁 몇 번 굴린 결과가 표와 다르게 나와도 이상한 일이 아니에요. 확률은 아주 많이 굴렸을 때의 비율이라서, 열 번 스무 번으로는 한쪽으로 치우쳐 보이는 게 자연스러워요. 규칙의 균형은 표와 공식으로 판단하고, 도구는 게임 진행에 쓰세요.